我在上一章简单的向你解释了为什么所有的分数都是有理数。
真正的证明肯定跟我刚才说的不一样，事实上，我甚至怀疑我所作的解释是否能让你相信这个结论。
不过总而言之，这句话是对的：所有能表示成分数的数，都是有理数。
不过为了严谨一些，我必须指出，此时这个分数的分母和分子都必须是整数。
接下来是一些分数相关的东西。
不过在此之前，我想我不得不提出一个重要的概念，那就是因数，他和因子的概念很像。
我接下来就会向你解释，什么是因数，以及因子。
比方说数字六。
我们知道2×3=6，所以我们可以说二和三就是6的因数之一，或者说2是6的一个因数。顺带一提，其实严格的来说，因数就是在除法中没有余数时，此时这个除法式子中的除数就叫做被除数的一个因数。
而我们同时也可以称呼这个除数是被除数的因子。
总之，一个数能被以乘法来表示的话，此事这两个乘数就是这个数的因子。
当然，他们必须得是整数。
他们很简单的，你应该会的，对吧？
在分数中，如果分子和分母具有一个共同的因数，那么我们就可以将分子分母同时除以这个因子，然后得到一个新的分数。
此时这个新的分数与原来的分数的值相等。
我们称这种过程为化简。
比方说8/10，他们都有因子二，所以我们将8÷2得到4，10÷2得到5。最终得到结果为4/5。
所以我们有8/10=4/5。
你可以从除法来证明他。
首先就是分子除以这个因子，然后再除以（原本的分母除以因子的结果）。我在这里使用的括号，是为了帮助你明白除以的到底是什么。除以的是这个结果，而不是这个原本的分母。
而根据我们除法的性质，这就相当于先除以原本的分母然后再乘以这个因子。
而根据运算法则，我们可以改变乘法和除法的顺序，这并不影响最终的结果。
2×3÷4，和二先除以四再乘三，最后的结果都一样，为1.5，你也可以说3/2，当然6/4也行，但马上你就要学会这6/4可以化简为3/2。
好了，我们继续说。
你会发现相当于是原来的分子先除以因子，再乘以因子，最后再除以分母。
所以这个值肯定是没变的。
所以我们成功的证明了一个分数可以将它的分子和分母同时除以它们的因子，结果仍然不变。
当然，这个因子必须得是相同的。
事实上，我们刚才几乎是证明了分子和分母同时除以一个相同的数，分数不变。
通过相似的方法，我们也可以证明分子分母，同时乘以一个数，分数不变。
当然是指分数的值不变。
但是加法和减法并不适用于这一规则。
总之，你现在应该学会了如何将一个分数进行化简。
那么不知你能否证明出这一条：所有的分数都可以化解为一个分子分母不都为偶数的数。
很简单吧？
偶数的定义，可以理解为就是二的倍数，所以如果分子分母都为偶数的话，就证明分子和分母都可以，同时除以二进行化简。
能够理解吧？
所以有了这样一个说法。
所有的有理数，都可以表示成N分之M的形式。请注意我这里的N和M代指的是分子和分母，不是某个特定的值。并且这个有理数都可以化简成M和N不都为偶数的形式。
接下来我想继续向你证明根号二是无理数。
不过我想，我还是想先把另外两个条件也摆出来吧！
为了方便，我把上面提到的作为条件一再说一遍，以使你能方便地明白，我们是如何证明的。
1.任何有理数都可以表示成一个分数的形式，此时分子和分母都为整数，并且该分数可以化解成分子和分母不同时为偶数的形式。
2.如果一个数等于另一个数的二倍，比如A等于2B，那么此时A一定是个偶数。
3.如果一个数是奇数，那么它平方后也是奇数。比如如果A是奇数，那么A的平方也是奇数。
第一条我们已经证明过了，接下来我将为你证明第二和第三条。
第二个很简单，因为偶数的定义就是二的倍数，因为A等于2B，所以A就是二的B倍，所以A是二的倍数。所以A一定是偶数。
第三个也很简单。
一个奇数乘以它本身，得到的最近终结果仍然是一个奇数。
如果举例的话，很容易理解，1×1结果是个奇数，3×3=9也是奇数，5×5，二十五一样也是奇数。
但是要证明的话，他比较困难。
不过我们可以用一个小妙招。
首先乘法是加法的一种简便运算，就在我们最开始就已经说明过了。
所以3×3，实际上是三个三相加。
也就是说一个奇数乘奇数，就相当于是奇数个奇数相加。
不过我们还有一些更基础的要说。
那就是奇数加奇数等于偶数。偶数加偶数等于偶数。奇数加偶数等于奇数。
这很简单。
因为两个奇数相加，他们那两个多余的1刚好能凑成二，于是成为偶数。
偶数加偶数，就相当于是运用一下乘法分配律，跟前面的类似，就等于偶数了。
至于奇数加偶数，奇数多出来的那个一最终还是不能被二整除，所以最终仍然是一个无法被二整除的奇数。
所以我们再来看奇数个奇数相加。
如果是偶数个奇数相加的话，那么相当于是我们前面的两个奇数相加的倍数，那么肯定是两个奇数相加的结果，也就是偶数的倍数。所以偶数个奇数相加一定是偶数。
那么奇数个偶数，就是在这个基础上减一个奇数，或者是加一个奇数。
这就又回到我们刚才说过的，奇数加偶数的问题了。
我们知道他的结果一定还是个奇数。
所以奇数个奇数相加一定是一个奇数。
所以奇数乘奇数一定是个奇数。
当然，其实我们最开始要说明的只有这一条：一个奇数平方后仍然为奇数。
但到现在你应该明白任意两个奇数乘奇数，其结果一定为奇数。
那么就到这里吧，我们会在下一章详细的说明，根据这三条已知条件，我们如何证明根号二为无理数。
