本章中,作者将介绍2010年前后由Joel David Hamkins在[20]中第一次系统地阐释的集合论多宇宙观(Multiverse View)的哲学立场，之后，作者将论证该哲学立场要么与它声称反对的传统集合实在论立场相融，要么实际上就是一种形式主义的数学哲学。
在下面的讨论中，我们主要关注的仍然是多宇宙观、传统集合实在论以及形式主义立场对数学研究的实际影响，而暂时忽略它们背后的哲学渊源.例如，人们可以将多宇宙观对人们在各种集合论宇宙中经验的强调理解为一种经验主义的传统，从而与显然是理性主义传统的集合实在论截然对立，但这并不是本章，也不是整个论文所关注的方向，后文中的论证依然重点着眼于多宇宙观等哲学立场对具体问题的看法。
首先，我将简单介绍多宇宙观酝酿产生的学科发展背景，以及多宇宙观的基本观点.
5.1 集合论模型与多宇宙观
我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中，我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合。人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理，集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义，然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的，传统实在论的目的就是推近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立。显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述。
集合论多宇宙观与传统实在论是对立的，它认为没有一个绝对正确的集合的概念，人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证，我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的，或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真。
5.1.1 构造集合论模型
多宇宙观产生的学科背景是在近几十年，尤其是Cohen发明力追法以后，各种“集合论模型”的“构造”已经成为集合论研究所无法离开的工具，例如，通过初等嵌入对大基数的定义，基数k满足某个大基数性质，当且仅当存在一个初等嵌入j：V→M，使得n是j的关键点，而被嵌入的集合论模型M往往是V的超幂或超幂的选代.
构造集合论模型的作用更多地体现在作为不完全现象的例证，各种独立命题或一致性证明的发现，都可以看作是构造了某些集合论模型，在其中，那些命题或真或假。
最直观的是集合模型的构造，例如，假设存在一个不可达基数n(参见定义2.3.3)，那么V。就是一个ZFC的模型。如果我们取的n是最小的不可达基数。那么V。会认为它里面没有不可达基数，因此
ZFC+存在不可达基数bCan(ZFC+不存在不可达基数).¹
又由向下的Lowenheim-Skolem定理，我们甚至可以找到一个可数的ZFC模型.它会“错误地”认为自己有不可数多的对象，在对运用力追法证明一致性的叙述中，我们往往会把原模型看作是一个可数模型，这让我们可以很直观地得出脱殊滤的存在，从而构造出力迫扩张，然而，要证明存在某个集合论理论的集合模型必须要假设一致性强度更强的公理系统，因此，从ZFC出发的针对其它命题与ZFC的一致性证明往往是相对一致性证明，即，我们先假设一个模型的存在，
！其实，证明不可达基数的一项性只需要假设Cou(ZPC).程设M是ZPC模型，那么M中“所有在第一个不可这基数(如果存在的话)阶(rank)之下的集合”组成的关联是不存在不可达基数的模型。
再从这个模型出发，或限制或扩张，构造出一个满足特定命题的模型
内模型(inner model)是通过对原模型作限制而得到新模型的一种构造方式.如哥德尔的可构成集类L(参见定义2.2.5)。在其中，每一层结构L。(o无穷)的基数是|o|，而L 的所有子集都可以在
I(α+β)2
中被构造出来，因而，广义连续统假设在其中成立。在可构成集组成的宇宙中，我们可以根据每个对象第一次被构造出来的先后顺序，以及被构造所使用的方式(可数种)，参数(已构造并排序的对象)来排定该对象的位置。因此，我们在整个宇宙上有一个可定义的良序，即选择公理在L中成立，但L中不一定含有全部的实数，我们可以从实数集(而非空集)开始构造，得到L(R)，在其中，有可能没有一个实数上的排序，从而选择公理又不成立，我们也可以用利用序数可定义性来定义内模型HOD.其中所有的集合以及它们的元素都是以序数为参数在V中可定义的，由于其定义所用的参数就是序数，而定义方式可数，所以也很容易将整个宇宙良序化，但是，连续统的取值在HOD却可以非常任意。
无论集合模型还是内模型的构造都可以看作是在我们这个绝对的集合论宇宙内部的构造，力迫扩张，一种外模型(onter model)的构造方式(参见222子节)，的产生才是对传统集合实在论的真正挑战。我们往往会这样叙述一个运用力追法的一致性证明：我们从一个集合论宇宙V出发，构造其中的一个布尔代数B.我们给每个关于集合的陈述赋予一个B上的值以表示其真假程度，当然，这种赋值需要符合一定规律，例如ZFC中句子都被赋予1，即绝对真：如果ZFCFφ→φ，那么o赋的值就比。更真。事实上，我们构造了一个多值逻辑的模型，即布尔值模型，其中有一些陈述的真值介于绝对的真和绝对的假之间。从中，我们可以看到更多集合论模型的可能性，我们设想有一个P上的V脱殊滤G.它是一个超滤，将B分为两个等价子类，即真和假，从而把可能性现实化，得到力迫扩张V[G]并满足特定的命题，一般来说，V是V[G]的子类，但V[G]中却含有V中没有的对象，如G，也就是说V[G]是比V更大的宇宙.这种构造似乎是在说，处于集合论宇宙之内的人(通过布尔值模型)也可以想象宇宙之外的情况，按照一些实在论者的想法，这些可以被合理地想象的对象也是实在的，那么，V对生存于其中的人们来说就不再是绝对的宇宙了。
集合论学家往往喜欢把上述的那些技术手段理解为集合论模型的构造，因此，Hamkins等人认为，传统的实在论已经不适合集合论研究的现状了，多宇宙观则
显得更加自然。他强调，集合论多宇宙观是一种二阶或高阶的实在论。2如果以传统集合实在论是关于集合的柏拉图主义，那么多宇宙观就是关于集合论宇宙的柏拉图主义，人们关于各种集合论模型、各种可能的集合论概念，以及它们之间关系的研究应该成为未来集合论研究的主题。
5.1.2 集合概念与集合论模型
Hamkins在[20]中提到：“我将简单地把一种集合概念与引起这种概念的集合论模型等同起来”。而作者恰恰认为这种等同是不合适的.
一种集合概念可以在很多集合论模型中被满足，而这些模型很可能非常不同。例如，假设M是ZFC的一个模型，U是M中的一个超滤，则根据超幂基本定理，M与超幂Ult(M，U)是初等等价的，也就是说，在多宇宙观看来，这两个模型对应的集合概念是一样，然而这两个集合论模型可以是非常不同的。
定理5.1.1假设M是一个集合论模型，U是M中的超滤，U不是可数完全的，即存在U中的
A0,A1,⋯,An+1..
使得
ₘₘ
⋂ₘAₘ=0.
那么，存在一个Ult(M. U)中的“属于”关系的无穷下降链。
证明令A=UU，即U是A上超滤，由于滤对于有穷交封闭，我们可以安全地假设
A_{n}＞A_{1}＞ \cdots ＞A_{m}＞ \cdots
A_{n}＞A_{1}＞ \cdots ＞A_{m}＞ \cdots
令
ₙₙₙ₊₁
Bₙ=Aₙ|Aₙ₊₁.
定义M中函数f₁:A→ω,对
ₙ
a∈Bₙ,
f(a)={n−10
若n-120. 否则.
容易验证(如图5.1.1),对任意i,
{a∈A|fa+1(a)infa(a)}∈U,
即[f,n]ECWMAD][f] .
审批表述成一种高阶实在论，独似乎不排除路轴的多字需要往更高路的推广的可能。
注意，Ult(M，U)与M初等等价，因而满足良基公理，即它不认为其中有无方长的“属于”关系的下降链，但是，从外面看，我们仍然可以找到无穷长的下降链。
我们知道，两个相同的模型(往往在同构的意义上)总是满足同样的句子，因而适合于它们的集合概念应该是一样的，然而，按照多宇宙观的看法，一个集合论模型可以在不同的宇宙中被检视，例如，M是N中的一个集合模型，而N本身也是V中的一个集合模型，那么，有可能N认为M所满足的公式与V认为N中的M所满足的公式并不相同，读者可以在5.2节中找到具体的例子.
因此，我们必须问多宇宙观的拥护者，他们到底是强调那些集合论模型的实在性还是强调没有一个绝对的关于集合的概念，作者将论证：如果多宇宙观强调的是各种集合论模型的存在，那么这种哲学观点可以与传统的集合实在论相容，我们仍然可以设想有一个真实的反映集合的客观实在的集合概念，如果多宇宙观强调的是不存在一种绝对的集合概念，那么它在实践上就是一种形式主义.
5.2 复宇宙
Hamkins在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性，其中最有代表性的是他对复宇宙(multiverse)³的描述，类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复字宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙。Hamkins强调：“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20，23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念，即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的。
Hamkins在[20,4]提到了von Nenmann [46.412]考虑到的一种情况:“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是有穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链，”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些直观。
5.2.1 复宇宙公理及其一致性
类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性，Hamkins提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.
定义5.2.1(复宇宙公理) 假设M是一个由ZFC模型组成的非空类，我们说M是一个夏宇宙，但且仅当它满足：
(1)可数化公理：对任意M中的模型M，存在M中的一个模型N，使得M是N中的一个可数集合.
(2)伤良基公理：对任意M中的模型M，存在M中的一个模型N，使得在N看来，结构M上的关系∈u是一个莠基的关系.
'作者的 view评估多字审核，这是与传统集合实在论，也理被李宇宙观称作业 宇宙段(underse view)相对的概念，而这里的复字审是很多字重观所理解的包含所有集合途宇宙的那个字宙。
(3)可实现公理：对任意M中的模型M，如果N是M中参数可定义的类，并且M认为N是ZFC的模型，那么N在M中.
(4)力迫扩张公理：对任意M中的模型M，如果P是M中参数可定义的偏序(类)，那么存在一个P上的M脱殊滤G，使得力迫扩张M[G]在M中。
(5)嵌入回测公理：对任意M中的模型M₁，若j₁，M₂是M₁中参数可定义的类且
₁
M₁
认为j₁：M₁→M₂是一个初等嵌入，那么存在M中的一个模型M₀，M₀认为以同样方式'定义的jo：M₀→M₁是一个初等嵌入，并且九=j(j₀)。
注5.2.2 我们说,“集合论模型 (M. Ext) ³ 是N中的一个元素(集合)”或
∘M
在N中”，是指存在集合N中的一个元素a⁵，N认为该元素是由m⁶，E ⁹组或的有序对且E°是m°上的一个二元关系，即 N=a₀=(m³,E ⁰)∧E"Sm"×m³,而从外面看集合 m³={x∈N| N≠x∈m³} 及其上的关系 E' = {(r,y) ∈N×N|N|=xEᵒy}组成的结构(m³,E')同构于集合论模型M.
“一明样方式”指的是:数设ji={r∈M₁|M₁*vir. m]},则jn={x∈M₁[M₆"
*当我们请论一个集合诠释型(M.6u)时，往往会简写为“整合论模型
ⁿ。
Mⁿ。
此时，我们考虑的是一个10.有不仅仅是一个整合。
由于这里所涉及的集合论模型不一定是传递模型，从外面看，它们的“属于“关系不一定是真正的属于关系的一个子类.所以，同一个对象，从外面看和从一个非传递的集合模型N看，可能包含不同的元素，我们一般用上标0来强调我们指的是模型N中的一个对象，用上标1来表示我们指的是N把该对象理解成的那个集合.例如，N=Ult(V，U)是一个超幂(U是序数o上超滤)，N中的元素都是形如[f]v的集合,其中f是从o到V中的函数,[f]v是 mod U的等价类，从外面看[f]x是由所有与f等价的函数组成的集合，我们用a²表示这个对象，即 a" = {q| a ~u f} = [f]v. 而在N看来，[f]e所包含的元素是那些[g]c，从外面看，那些9满足对大部分。有
g(x)inf(x)
(记为g∈nf).此时.我们用a²来表示，N所理解的aᵐ，即 a³= {(y)e|g∈ vf}.
结构(m³,E')是从外面看对N所理解的(m³,E'')的理解,对任意r,y∈m³,(m³. E¹)Fz∈y(即
⁺
zE⁺y)
当且仅当 N=Γ(m⁰. E ⁰)Fx∈b ⁷. 而x∈n²当且仅当x∈N且N=x∈m³, 因此，对公式复杂度简单地归纳就可以得出：任给集合论公式率和
x1,⋯,xn∈m,
(5.21)
(m1,E1)=φ[r1,…,xn]⟺N+Γ(m0,E0)=φ[x1,…,xn]−
注5.2.3我们说，“集合模型M₁认为 n:M₁ → M₂ 是一个初等嵌入” (五和M₂是M₁中参数可定义的类)，严格地是在说，M₁认为j₁是从自身到M₂的∑₀初等嵌入(对任意∑₀公式c(x)有,M₁≠0[0] 当且仅当M₂E=b(o)]). 这样定义是因为，M₁中无法定义自己的真谓词，因而无法真正说j₁是初等嵌入，但M₁中可以说j₁是
ₖ
⊆vₖ
初等嵌入，并且从外面看，如果方:M₁→M₂是
ₙ
Sₙ
初等嵌入，那么从外面可以归纳地证明它确实是初等嵌入.核心归纳步骤如下.
假设 M₂=3mp(x), 那么存在序数
a∈OreM2
使得，
Vm1/2+3xϕ(x).
由于j₁是一个共尾嵌入，即总存在β∈M₁使得j(i)＞a，我们选取足够大的β使得
Vj(j)M2=∃xφ(x),
即
M2=∃x∈Vf(x)φ(x).
而
∃x∈VP(a)φ(x)
的复杂度不比φ更高，所以我们可以运用归纳假设，得到。 M₁=3rp(x).
总的来说，复宇宙公理所要表达的是，复宇宙是没有中心的，没有一个集合论宇宙可以被看作是标准的，我们看到的或想象我们生存于其中的那个集合论宇
面，在别的宇宙看来可能只是一个可数的世界；或者它不是一个良基的世界；它可能是另一个世界中的超幂或者是布尔值模型下的一种可能性，并且，即使我们能跳出当前的宇宙，从更高明的角度审视并意识到这些问题，我们仍然只不过是处于一个更高级的幻觉中而已。
Gitman和Hamkins在[15]中证明了,假设ZFC是一致的,那么看似荒谬的复宇宙公理并不蕴含着矛盾。
定义5.2.4(可数的可计算饱和模型类)令了是一个集合论理论，
CCSM(T)={(m,E)|m可数,且(m,E)是T的可计算饱和模型}
是由所有满足T的可数可计算饱和的集合论模型组成的类.
一个集合论模型M是可计算饱和的，当且仅当对于任意可计算的公式集φ(x，a)(其中至多包含一个自由变元x，一个参数a∈M)，如果φ(x，a)的每个有穷子集在M中可实现(即有穷可实现)，那么整个φ(x，a)在M中可实现，即存在b∈M使得M=φ[b,a]。
容易验证，任何可计算饱和的集合论模型都有一个非标准的ω，因为，公式集
\{ x＜ \omega ,x＞0,x＞S0, \dotsc ,x＞S”0, \dotsc \}
\{ x＜ \omega ,x＞0,x＞S0, \dotsc ,x＞S”0, \dotsc \}
是可计算的，也是M中有穷可实现的。
定理5.2.5(Gitman-Hamkins) 假设ZFC一致,那么CCSM(ZFC)满足所有复字审公理，即所有可数的可计算饱和的ZFC模型组成了一个复字审.
证明概述 首先，引理5.2.6是整个证明的核心引理。
引理5.2.6任给两个可数的可计算饱和的ZFC模型，如果它们有相同的标准系统，那么这两个模型同构。
我们知道，一个~非标准的模型N中不存在标准的w，也不存在在标准w的无穷子集，但我们可以说N中的一个自然数子集(非标准的)(
ᵇ
aᵇ
是一个标准的自然数子集A的代码(code),当且仅当A=a¹nw. 我们说一个模型M的标准系统(standard system)，是指所有能用M中元素编码的标准的自然数子集，型
SSM(M)={ω∩a2|an∈M}
在证明可数化和伪良基公理成立的时候，我们实际上证明的是任何一个可数的可计算饱和模型N都含有一个自己的副本，即含有一个元素a，并认为它是一个可数的非良基集合论模型(m，E)，而通过引理5.2.6可以证明，从外面看，该模型与N同构，反过来说，每个可数的可计算模型都在自己的一个副本之中，且被自己认为是可数的并且是非良基的.
类似地，假设M₁是个可数的可计算饱和模型，并且j：M₁→M₂，我们可以利用引理5.2.6证明，事实上存在一个同构M₁≈M₂，并且在M₂中以同样方式定义的jz=j₁(j₁)，因此，就像站在M₂的角度看，存在模型M₀(其实是M₁自己)及其中同样地定义的初等嵌入j₀:M₀→M₁使得j₁=j₀(l₀).
运用引理5.2.7
引理5.2.7假设N是拥有一个非标准的ω的ZFC模型，那么N中的模型都是可计算饱和的。
我们可以证明，任给一个可数的可计算饱和的模型M，它的内模型和力迫扩张同样在某个可计算饱和(因而也是ω非标准的)模型中，所以也是可计算饱和的。即在CCSM(ZFC)中.
值得说明的是，在可数化公理和伪良基公理中，我们并不要求那个“更好的”模型N把M识别为ZFC的模型，事实上，N中的句子集ZFC被编码为N中的部个非标准的ω的子集，是一个非标准的ZFC.所以，尽管实际上M是ZFC的模型，N仍可能认为M只满足它所认识的ZFC的一个前段.
然而，在一定的假设之下，还是可以找到一个模型N把M识别为ZFC的模型。
引理5.2.8(Gitman-Hamkins) 如果M是可数的可计算饱和的ZFC模型，那么下面两个命题等价：
(1)理论
TM=ZFC+{Con(ZFC+Γ)|T2
是Th(M)的有穷子集}是一致的.
(2)存在可数的可计算饱和的ZFC模型N，M是N中的元素，并且N认为M是一个可数的可计算饱和的ZFC模型。
我们会在后面看到，Tu一致这个假设其实并不很强。
需要注意的是，在传统实在论者看来，一个ZFC甚至ZF的模型可以被称为一个集合论宇宙，但这些模型绝不是他们心目中的那个绝对的囊括所有集合的宇宙，类似地，我们在这里把CCSM(ZFC)称作一个复宇宙，只是表名它满足定义5.2.1的复宇宙公理，它绝不可能是二阶实在论所理解的那个绝对的复宇宙。因为它事实上是某个集合论宇宙中一个可定义的类，此外，就像ZFC不是对集合论宇宙的完备的描述，我们没有理由以为定义5.2.1中所列复宇宙公理是完备的。事实上，人们期待着一种根本上不同于力追扩张的新的集合论模型构造方式，也即一种新的一致性证明方式的发现。
总之，Hamkins通过这一结论试图说明的仅仅是，多宇宙观对复宇宙的理解至少是一种一致的无法被逻辑证否的哲学假说。
o.2.2复复宇宙公理
正如我在第106页的注释中提到的。虽然在Hamkins的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复字宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论，显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的，推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法。我们也可以宣称并没有一个绝对的复字宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题，这些复宇宙之间又具有一定的关系，当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系，集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，而复复宇宙中存在着哪些对象。
定义5.2.9(复复宇宙公理)存在一个复宇宙，并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙A'以及N'中的一个ZFC模型N，使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像夏宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙。
