莉亚看着桌上那份写满了公式和推论的羊皮纸。
《关于天体与地面物体运动统一性的原理》。
标题很大，内容也足够颠覆。它用一个公式，将天上的星辰和地上的苹果联系在了一起。但莉亚知道，这还不够。
这篇论文的根基有部分建立在一个经验定律之上——那个被命名为“星星的运动规律”的，类似地球上开普勒定律的东西。
要建立一个真正无法被撼动的理论大厦，就必须把这块经验主义的地基，换成坚不可摧的逻辑磐石。
她要用自己的三条基本定律和万有引力，从零开始，重新推导出星辰的运动规律。
莉亚拿起笔，在论文的末尾，添上了一个新的章节标题。
《第四章：从基本原理对星辰运动规律的推导》
“前文所述的‘星星的运动规律’，是学者们通过长期观测总结出的经验。它描述了现象，但未能解释其根本原因。接下来的内容，将证明这些规律并非孤立，而是我所提出的‘运动三定律’与‘万有引力定律’的必然结果。”
“一、轨道形状的必然性——为何是椭圆”
“我们已知，行星之所以环绕太阳，是因为太阳对其施加了引力。根据第二运动定律，这个力决定了行星的加速度。我们可以写出运动方程：”
F引 = m行星 × a
“将万有引力公式代入，并使用微积分的语言来描述加速度（加速度是位置对时间的二阶导数），我们得到一个描述行星运动的矢量微分方程。”
G×(M日×m行星)/r² = m行星 × (d²r/dt²)
莉亚在草稿纸上飞速演算。
解这个方程的过程相当繁琐，涉及到矢量和微积分的复杂技巧，因此莉亚花了大量的篇幅进行讲解。
“此方程的数学解表明，在与距离平方成反比的有心力作用下，物体的运动轨迹必然是‘圆锥曲线’的一种——即圆形、椭圆、抛物线或双曲线。”
“根据天文观测，我们知道行星的轨道是封闭且周期性的。在所有圆锥曲线中，只有圆形和椭圆是封闭的。而圆形，只是椭圆在两个焦点重合时的特例。”
“因此，理论断定：行星的轨道必然是椭圆，而提供引力的中心天体（太阳），必然位于该椭圆的一个焦点上。”
写完这句，莉亚暂时停笔。
“星星的运动第一规律”，不再是观测总结出的猜想，而是从第一性原理推导出的必然。
接下来是第二规律，那个关于面积速度的。
“二、面积速度守恒——角动量守恒的体现”
“为了更深入地分析轨道运动，我需要引入一个新的物理量：角动量。”
“角动量（符号L）：一个描述物体旋转运动状态的物理量。它是一个矢量，其大小等于物体的质量、物体到旋转中心点的距离、以及物体垂直于该距离方向的速度分量的乘积。其方向垂直于物体运动的轨道平面。”
“用矢量叉乘积可以将其简洁地表示为：L = r × p，其中r为位置矢量，p为动量（p=m×v）。”
定义完毕，开始推导。
“现在，我们考察角动量随时间的变化率，即dL/dt。”
“根据微积分的求导法则，dL/dt = (dr/dt × p) + (r × dp/dt)。”
“第一项(dr/dt × p)，即(v × m·v)。由于速度矢量v与其自身平行，它们的叉乘积恒为零。”
“第二项(r × dp/dt)，根据第二运动定律，动量的时间变化率dp/dt就是物体所受的合外力F。因此，(r × dp/dt) = r × F。这个量，我们称之为‘力矩’。”
“对于万有引力而言，力的方向始终沿着太阳与行星的连线（即位置矢量r的方向）。这种力，我们称为‘有心力’。当力F与位置矢量r共线时，它们的叉乘积（力矩）也恒为零。”
“综上，我们得到一个至关重要的结论：dL/dt = 0。”
“这意味着，在太阳引力场中运动的行星，其角动量是一个恒定不变的量。我称之为‘角动量守恒定律’。”
“那么，这与行星在单位时间内扫过的面积有什么关系？”
莉亚在旁边画了一个简图，一个行星在极短时间dt内，从A点运动到B点，与太阳S构成一个狭长的三角形。
“通过微积分可以证明，行星与太阳连线在单位时间内扫过的面积（面积速度dS/dt），其大小等于行星角动量的大小L除以其两倍的质量（2m）。”
dS/dt = |L| / (2m)
“既然角动量L和质量m都是恒定的，那么面积速度dS/dt必然也是一个常数。”
“这从理论上证明了‘星星的运动第二规律’：行星与太阳的连线，在相等的时间内，扫过相等的面积。其本质，是在有心力场中，角动量守恒的直接体现。”
莉亚感觉自己的思路前所未有的清晰。
最后，也是最关键的一步，周期定律。
“三、周期与轨道的关系——对经验定律的修正与升华”
“现有的‘第三规律’（T²∝r³）是一个基于近似圆形轨道的经验公式。而我的理论将给出一个更精确普适的描述。”
她将前面两节的结论作为工具。
“我们已知，行星公转一周的时间（周期T），等于其轨道总面积S，除以它恒定的面积速度dS/dt。”
T = S / (dS/dt)
“对于椭圆轨道，其面积为 S = πab（其中a为半长轴，b为半短轴）。”
“而面积速度 dS/dt = L / (2m)。”
“将它们代入，得到 T = 2mπab / L。”
“接下来的推导较为复杂，它需要结合轨道的能量守恒定律，最终建立起角动量L、半长轴a与半短轴b之间的关系。
她拿起笔，写下了那严密推导的过程，并得出了那个足以修正整个世界天文学的公式。
T² = (4π² / (G×M日)) × a³
“此公式表明：行星公转周期的平方，与其轨道‘半长轴’的立方成正比。”
莉亚特意在“半长轴”三个字下面画了着重线。
“这修正了过去将轨道半径作为衡量标准的模糊认知。更重要的是，公式明确指出了比例系数的构成：它不再是一个需要反复测量才能得到的经验常数k，而是一个由万有引力常数G和中心天体（太阳）的质量M日唯一决定的理论值。”
“这意味着，只要我们能通过实验精确测定G的值，我们就可以通过观测一颗行星的轨道周期和半长轴，反过来计算出太阳的质量！”
“反之，如果我们已知太阳的质量，就可以仅凭一条轨道的半长轴，精确预言任何一颗未知行星的公转周期。”
